РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ

video

Любая периодическая функция f(t) с периодом T может быть представлена в виде суммы синусов и косинусов от аргумента nwt (так называемый ряд Фурье), где n - целое положительное число, t - время, w =2p/T - угловая частота.


           

Компоненты ряда Фурье называются гармониками. Любая четная функция может быть разложена в ряд Фурье, состоящий из косинусов, а любая нечетная функция раскладывается в ряд из синусов.

 

1. Рассмотрим функцию в виде периодически повторяющихся прямоугольных импульсов как показано на рисунке (где a=b=T/2).. Период функции T= 2p/w. Эта функция раскладывается в ряд:


Анимация показывает сумму первых 40 гармоник меандра (чётные гармоники отсутствуют, наивысшая 39ая гармоника имеет частоту 39w).

Как видно из этой анимации первая гармоника соответствует синусу с частотой w. Добавление гармоник высшего порядка приводит к искажению синуса и меандр формируется в основном первыми десятью гармониками. Высшие гармоники увеличивают крутизну фронтов и делают меандр более ровным.

f(t)=1.273*sin(1*w*t)+0.424*sin(3*w*t)+0.255*sin(5*w*t)+0.182*sin(7*w*t)+0.141*sin(9*w*t)+0.116*sin(11*w*t)+0.098*sin(13*w*t)+0.085*sin(15*w*t)+0.075*sin(17*w*t)+0.067*sin(19*w*t)+0.060*sin(21*w*t)+0.055*sin(23*w*t)+0.051*sin(25*w*t)+0.047*sin(27*w*t)+0.044*sin(29*w*t)+0.041*sin(31*w*t)+0.039*sin(33*w*t)+0.036*sin(35*w*t)+0.034*sin(37*w*t)+0.033*sin(39*w*t)

2. Рассмотрим разложение в ряд Фурье прямоугольного импульса, для которого  T/b=4:

Как мы видим из формулы, для такой функции в разложении Фурье появляются четные гармоники.

impuls

Анимация показывает сумму первых 20 гармоник ряда Фурье.

f(t)=4.12*cos(1*w*t)+3.33*cos(2*w*t)+2.22*cos(3*w*t)+1.03*cos(4*w*t)-0.69*cos(6*w*t)-0.95*cos(7*w*t)-0.83*cos(8*w*t)-0.46*cos(9*w*t)+0.37*cos(11*w*t)+0.56*cos(12*w*t)+0.51*cos(13*w*t)+0.29*cos(14*w*t)-0.26*cos(16*w*t)-0.39*cos(17*w*t)-0.37*cos(18*w*t)-0.22*cos(19*w*t)

Литература:
1. Ф.К.Кнойбюль, "Пособие для повторения физики", пер.с нем., Энергоатомиздат, 1981
2. С.И.Баскаков, "Радиотехнические цепи и сигналы", Москва, Высш.школа, 1983
3. А.Анго, "Математика для электро- и радиоинженеров", пер.с фр., Наука, 1965


Партнёры: Купить садовую технику bosch измельчители садовые bosch Купить. Корзины с фруктами подарочные корзины с фруктами.

Rambler's Top100