ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ШАРОВ

video

1.Центральные столкновения шаров

Рассмотрим два сферических объекта (шарика) с массами m1 и m2. Предположим, что эти шарики движутся без вращения по одной оси и испытывают центральное упругое соударение. В этом случае закон сохранения импульса запишется в виде:

m1v1i + m2v2i = m1v1 + m2v2

где v1i и v2i - начальные скорости каждого объекта, а v1 и v2 - их конечные скорости. Закон сохранения энергии записывается в виде:

m1v1i2 / 2 + m2v2i2 / 2 = m1v12 / 2 + m2v22 / 2

Закон сохранения импульса может быть преобразован следующим образом:

m1 (v1i - v1) = m2 (v2 - v2i)

Также преобразуем выражение для закона сохранения энергии

m1 (v1i2 - v12) = m2 (v22 - v2i2)

Если разница между начальной и конечной скоростями не равна нулю (то есть столкновение действительно произошло), мы можем разделить второе из двух последних уравнений на первое, что дает:

v1i + v1 = v2 + v2i
или
v1i - v2i = v2 - v1

Другими словами,  в одномерном случае упругих столкновений относительная скорость движения объектов после столкновения равняется относительной скорости движения до столкновения.

Чтобы получить конечные скорости движения объектов через их начальные скорости и массы, нужно выразить v2 из последнего уравнения и подставить его в уравнение для закона сохранения импульса. Окончательно получаем:

v1 = v1i (m1 - m2) / (m1 + m2) + v2i (2 m2) / (m1 + m2)

Таким же способом находим выражение для  v2

v2 = v1i (2 m1) / (m1 + m2) + v2i (m2 - m1) / (m2 + m1)

Далее предположим, что сталкиваются объекты с одинаковой массой, т.е. m1m2 = m. В этом случае:

v1 = v1i (m - m) / (m + m) + v2i (2 m) / (m + m)
v2 = v1i (2 m) / (m + m) + v2i (m - m) / (m + m)

Окончательно получаем, что

v1 = v2i и v2 = v1i

Это означает, что в случае центрального упругого соударения объектов с равными массами, они будут просто обмениваться скоростями. Если один из объектов до столкновения покоился, то после столкновения он остановится, а второй объект начнёт движение. При этом скорость движения второго объекта будет равна скорости первого объекта до столкновения.

В общем случае центрального и абсолютно упругого столкновения объектов с разными массами, один из которых до столкновения покоился (v2i =0), можно записать следующие выражения для скоростей после удара:

v1 = v1i (m1 - m2) / (m1 + m2)
v2 = v1i (2 m1) / (m1 + m2)

Если масса налетающего шара m1 больше массы покоящегося шара m2 , то v1 и v2 будут положительными и оба шара после столкновения будут двигаться в одном направлении, совпадающем с направлением начального движения налетающего шара.

Если же масса налетающего шара m1 меньше массы покоящегося шара m2 , то v1 будет отрицательной, а v2 - положительной, и шары после столкновения будут разлетаться в противоположных направлениях. При этом, т.к. 2 m1>m1 - m2 , то маленький шарик отразиться с большей скоростью.

Теперь рассмотрим случай, когда один шар сталкивается с цепочкой из нескольких одинаковых шаров, как показано на анимации. В этом случае налетающий шар обменивается скоростью со вторым шаром, второй - с третьим и т.д. В результате получаем, что после столкновения все шары кроме последнего будут находиться в покое, а последний шар отскочит ровно с той же самой скоростью, с которой двигался налетающий шар.

Balls.gifНа практике центральные столкновения в цепочке одинаковых шаров можно пронаблюдать при помощи устройства, изображённого на анимации.  Здесь все шары подвешены на длинных нитях и  задача сводится к рассмотрению их попарного столкновения. При этом вся система будет вести себя, как показано на анимации, т.е. крайние шары будут поочерёдно отскакивать с одинаковой скоростью и отклоняться на нитях на одинаковый угол, а все шары, лежащие между ними, будут находиться в покое. Необходимо отметить, что приведенные выше рассуждения справедливы лишь для случая абсолютно упругого столкновения шаров, когда не происходит потери энергии. В реальности общая энергия системы будет со временем уменьшаться за счет трения о воздух, нагревания шаров, возбуждения акустических волн и т.д. В силу этого, со временем движение шаров изменяется. Амплитуда отскока крайних шаров уменьшается, а центральные шары начинают совершать колебательные движения.

Рассмотрим неупругий удар более подробно. При неупругом ударе часть кинетической энергии налетающего шара теряется с выделением тепла. В предельном случае абсолютно неупругого удара налетающее тело слепляется с покоящимся телом, кинетическая энергия их относительного движения обращается в ноль и они продолжают движение, как единое тело. 

В некоторых случаях частично упругого удара в теле после столкновения будут возбуждаются деформационные колебания, затухающие со временем. Анимация показывает столкновение упругого шарика с жёсткой стенкой. При таком ударе в шарике возбуждаются моды деформационных колебаний, причём мода с наименьшей частотой превалирует.  Со временем эти колебания затухнут, а их энергия перейдёт в тепло. Таким образом, здесь имеет место процесс преобразования части кинетической энергии движущегося шарика в тепло с промежуточным этапом возбуждения деформационных колебаний.

Возбуждение таких колебаний можно смоделировать при помощи двух одинаковых шариков, соединённых пружиной. Предположим, что абсолютно упругий шар сталкивается с пружинным осциллятором, как изображено на анимации. Массы всех шаров одинаковы и равны m. Так как в момент удара пружина ещё не действует, налетающий шар останавливается, а левый шар осциллятора приводится в движение со скоростью налетающего шара v. При этом центр масс осциллятора движется со скоростью v/2. Со временем колебания осциллятора затухнут и он будет продолжать поступательное движение со скоростью v/2, а суммарная энергия всей системы составит лишь половину от энергии налетающего шара. Другая половина выделится в виде тепла в осцилляторе.

Рассматривая ранее упругое столкновение шара с цепочкой шаров одинаковой массы, мы пришли к выводу, что все промежуточные шары остаются в покое, а движутся лишь крайние.  Посмотрим что изменится, если соединить все промежуточные шары пружинами. Анимация показывает случай двух промежуточных шаров, соединённых пружиной. Мы видим, что промежуточные шары приводятся в колебательное движение, в то время как их общий центр масс практически неподвижен. Такая же картина возникает и в случае моделирования трёх, четырёх и более промежуточных шаров, соединённых пружинами. Со временем колебания затухнут и вся система будет напоминать цепочку свободных упругих шаров, рассмотренную выше, но лишь отчасти. Затухшие колебания шаров унесли часть энергии системы в виде тепла, а значит скорость самого правого шара должна быть меньше скорости налетающего шара. Но если предположить, что промежуточные шары неподвижны, то не будет сохраняться импульс системы. Таким образом, можно констатировать, что промежуточные шары будут также двигаться с небольшой скоростью. Это подтверждается также результатами численного расчёта.


2. Нецентральное столкновение шаров

Рассматривая в предыдущем разделе движение нескольких шаров на нитях, мы предполагали, что их скорости в момент столкновения направлены вдоль линии, соединяющей центры масс. Такие удары называются центральными. Картина соударения при нецентральном ударе будет совсем иной.  Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей возникнут силы трения, которые вместе с упругими силами взаимодействия определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров относительно их центров масс.

Если силы трения очень малы по сравнению с упругими силами, то действием сил трения можно пренебречь и в этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединим центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложим скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенсальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют,  то тангенсальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенсальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.

Collis.gifРассмотрим теперь изображённый на анимации случай столкновения лёгких шаров массой  m1, движущихся со скоростью v, с группой неподвижных тяжёлых шаров массой m2   (m1<<m2). В этом случае скорости лёгких шаров практически неизменны по величине, а направление их движения меняется на угол от 0 до 180 градусов в зависимости от того, как произошло столкновение: центральным образом или шары лишь слегка соприкоснулись краями. Тяжёлый шар при этом будет двигаться со скоростью, не превосходящей v2=2vm1/m2   (скорость отдачи при центральном ударе), а угол разлёта составляет величину от -90 до 90 градусов.

На анимации мы можем также видеть некоторые особенности рассматриваемого случая по сравнению с нашей приближённой теоретической моделью. В частности, лёгкие частицы могут испытывать несколько столкновений с тяжёлыми частицами, при этом в момент столкновения сами тяжёлые частицы могут находиться в движении, приданном им в результате предыдущих столкновений. Часто требуется погасить скорость потока частиц. Как следует из приведённого анализа для этого лучше использовать рассеяние частиц на частицах с примерно равной массой.


Литература:
1. Д.В.Сивухин, "Общий курс физики. Механика", Наука, 1979
2. О.Д.Шебалин, "Физические основы механики и акустики", Высш. школа, 1981
3. С.П.Стрелков, "Механика", Наука, 1975
4. К.Шварц, Т.Гольдфарб, "Поиски закономерностей в физическом мире", пер. с англ., Москва, Мир, 1977
5. Лабораторные занятия по физике, под ред. Л.Л.Гольдина, Москва, Наука, 1983

Партнёры: Цены на пластиковые окна. Актуальная информация бочка баня отзывы тут.

Цветочный магазин букетов в СПб Барселона предлагает все для невесты

9046065.ru


Rambler's Top100