Циклоидальные кривые

Эпитрохоида (от греч. на и колесо) — плоская кривая, образуемая точкой, жёстко связанной с окружностью, катящейся по другой окружности.

Описывается параметрическими уравнениями

x = (R + mR)cos(mt) − hcos(t + mt)
y = (R + mR)sin(mt) − hsin(t + mt)

R - радиус неподвижной окружности; r - радиус катящейся окружности; h - расстояние от центра катящейся окружности до точки; m = r/R

Если h = r, эпитрохоида образует эпициклоиду. Также при h > r, получаемую фигуру называют удлинённой эпициклоидой, а при h < r укороченной эпициклоидой. Собственные имена получили ещё два варианта эпитрохоиды: r = R (m = 1) — улитка Паскаля; h = R + rРоза. На рисунках ниже зелёным цветом изображена неподвижная окружность радиуса R=1, а тёмно-синим - кривая, очерчиваемая движущейся точкой.

Удлиненная эпитрохоида
R=1; r=0.2; h=0.3;
Улитка Паскаля
R=1; r=1; h=1.5
Роза
R=1; r=1/6; h=1+1/6
%% Удлиненная эпитрохоида
roots=0; width=200
fmin=-2-2i; fmax=2+2i
xmax=10*pi
R = 1; r=0.2; m=r/R
h=0.3
x=(R+m*R)*cos(m*t)-h*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-h*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/5); color1=00aa00
%% Улитка Паскаля
roots=0; width=200
fmin=-4-4i; fmax=4+4i
xmax=2*pi
R = 1; r=1; m=r/R
h=1.5
x=(R+m*R)*cos(m*t)-h*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-h*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t); color1=00aa00
%% Роза
roots=0; width=200
points=200
fmin=-3-3i; fmax=3+3i
xmax=12*pi
R = 1; r=1/6; m=r/R
h=1+1/6
x=(R+m*R)*cos(m*t)-h*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-h*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/6);color1=00aa00
Роза



Укороченная эпитрохоида
R=1; r=0.2; h=0.1;
Эпициклоида
R=1; r=0.1; h=0.1
 
%% Укороченная эпитрохоида
roots=0; width=200
fmin=-2-2i; fmax=2+2i
xmax=10*pi
R = 1; r=0.2; m=r/R
h=0.1
x=(R+m*R)*cos(m*t)-h*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-h*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/5); color1=00aa00
%% Эпициклоида
roots=0; width=200
fmin=-2-2i; fmax=2+2i
xmax=10*pi
R = 1; r=0.2; m=r/R
h=0.2
x=(R+m*R)*cos(m*t)-h*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-h*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/5); color1=00aa00
 
 

 

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x2 + y2 - ay)2 = l2(x2+y2)
в полярных координатах:
r = l - a·sin(φ)

Начало координат
 - узловая при a > l.
 - точка возврата при a = l (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
 - двойная точка, изолированная при a < l

a > l a = l a < l
xmax=4*pi
fmin=-2-3i
fmax=2+i
l=1; a=2
r=l-a*sin(fi)
f(fi)=cplxe(r,fi)
xmax=4*pi
fmin=-2-3i
fmax=2+i
l=1; a=1
r=l-a*sin(fi)
f(fi)=cplxe(r,fi)
xmax=4*pi
fmin=-2-3i
fmax=2+i
l=1; a=0.5
r=l-a*sin(fi)
f(fi)=cplxe(r,fi)



l = 1/25 ... 2    
nmax=50; animated(0,0)
xmax=4*pi
l=1; a=(n+1)/25
r=l-a*sin(fi)
f(fi)=cplxe(r,fi)
   
   

 

Эпициклоида (от греческих слов на и окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по другой окружности. Эпициклоида - частный случай Эпитрохоиды, т.к. точка лежит в точности на окружности радиуса r, а не на расстоянии h от её центра, как в случае Эпитрохоиды.

Описывается параметрическими уравнениями

x = (R + mR)cos(mt) - mcos(t + mt)
y = (R + mR)sin(mt) - msin(t + mt)

где m=r/R; R — радиус неподвижной окружности; r — радиус катящейся окружности.

Модуль величины m определяет форму эпициклоиды. На рисунках показаны эпициклоиды при m = 1/10, m = 1/3 и m = 2/3. При m = 1 эпициклоида образует кардиоиду. Кардиоида (от греч. сердце и вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. На рисунках ниже зелёным цветом изображена неподвижная окружность радиуса R=1, а тёмно-синим - кривая, очерчиваемая движущейся точкой.

m = 1/10 m = 1/3 m = 2/3
roots=0; width=200
fmin=-1.5-1.5i; fmax=1.5+1.5i
xmax=20*pi
R = 1; m=1/10
x=(R+m*R)*cos(m*t)-m*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-m*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/10); color1=00aa00
roots=0; width=200
fmin=-2-2i; fmax=2+2i
xmax=6*pi
R=1; m=1/3
x=(R+m*R)*cos(m*t)-m*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-m*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/3); color1=00aa00
roots=0; width=200
fmin=-2.5-2.5i; fmax=2.5+2.5i
xmax=6*pi
R=1; m=2/3
x=(R+m*R)*cos(m*t)-m*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-m*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/3); color1=00aa00



Кардиоида (m=1)    
roots=0; width=200
fmin=-3-3i; fmax=3+3i
R=1; m=1
x=(R+m*R)*cos(m*t)-m*cos(t+m*t)
y=(R+m*R)*sin(m*t)-m*sin(t+m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t); color1=00aa00
   
   

 

Гипоциклоида (от греческих слов под и окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся внутри другой окружности без скольжения. Описывается параметрическими уравнениями:

x=(R-mR)·cos(mt) + m·cos(t-mt)
y=(R-mR)·sin(mt) - m·sin(t-mt)

где m=r/R; R — радиус неподвижной окружности; r — радиус катящейся окружности. Модуль величины определяет форму гипоциклоиды. При m=1/4 является астроидой. На рисунках ниже зелёным цветом изображена неподвижная окружность радиуса R=1, а тёмно-синим - кривая, очерчиваемая движущейся точкой.

Астроида (m = 1/4) m = 1/2.1  
roots=0; width=200
xmax=8*pi
R=1; m=1/4
x=(R-m*R)*cos(m*t)+m*cos(t-m*t)
y=(R-m*R)*sin(m*t)-m*sin(t-m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/4); color1=00aa00
roots=0; width=200
xmax=42*pi
fmin=-1-i; fmax=1+i
R=1; m=1/2.1
x=(R-m*R)*cos(m*t)+m*cos(t-m*t)
y=(R-m*R)*sin(m*t)-m*sin(t-m*t)
XY(t)=x+i*y
XY1=exp(i*t/21); color1=00aa00
 
 
 

 

Трохоида (от греч. колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, описываемая параметрическими уравнениями:

x = r·t - h·sin(t)
y = r - h
·cos(t)


Представляет собой траекторию точки, жестко связанной с окружностью радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (в приведённом примере такой прямой является горизонтальная ось координат). Расстояние точки от центра окружности — h. Также описывает, например, движение заряда q в случае одновременного наличия однородных и постоянных электрического (E) и магнитного (B) полей, перпендикулярных друг другу и первоначальному направлению движения заряда. В этом случае траекторию движения частицы можно представить как сумму двух движений: в направлении, перпендикулярном скрещенным полям, заряд движется с постоянной дрейфовой скоростью, а в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, он движется по окружности с циклотронной частотой. Также известно, что например, период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде не зависит от амплитуды, этот факт используется в точных механических часах. Детали машин, которые совершают одновременно вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида).

Если h = r, то трохоида переходит в циклоиду. При h > r трохоиду называют удлинённой циклоидой, а при h < r — укороченной циклоидой.

Трохоида Циклоида  
nmax=5; animated(100,0)
xmax=6*pi
width=400
r = 1; h=(n+1)/3
x=r*t-h*sin(t)
y=r-h*cos(t)
XY(t)=x+i*y
a=0.4 %% Изменять a от 0 до 1
fbox=1; width=400; ratio=1;
points=10; roots=0; spline=1
xmin=0; xmax=2*pi
p0=i+2*pi*a
p1=i+2*pi*a+exp(-i*2*pi*a+i*3*pi/2)
r = 1
x=r*(t-sin(t))
y=r*(1-cos(t))
XY(t)=x+i*y
XY1=(p0*(xmax-x)+p1*(x-xmin))/(xmax-xmin); color1=00aa00
XY2=i+2*pi*a+exp(-i*x); color2=00aa00
 
 
   

Партнёры: Спортивные куртки женские зимние в Москве Велосипеды из китая купить. Заказать разработку интернет магазина.

Rambler's Top100