Трансцендентные кривые

Каннабола (cannabola) — интернет-мем, представляющий собой выведенное (по собственным данным) пользователями «Живого Журнала» семейство математических функций, описывающих поведение внешней границы листа конопли. Самая простая каннабола аналитически записывается как r = (1 + sin(φ))(1 + 0.9cos(8φ))(1 + 0.1cos(24φ))

Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча с началом в O, в то время как сам луч равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ пропорционально углу поворота φ луча. Повороту луча на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: ρ = k·φ, где k - смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану. Повороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ. Число a -называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так: ρ = (a/2π)·φ

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: ρ·φ = k. Параметрическая запись уравнения: x= k·cos(t)/t; y=k·sin(t)/t. При t->0:  x-> ∞; y->k

Логарифмическая спираль или изогональная спираль ― особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis ("удивительная спираль"). В полярных координатах кривая может быть записана как  ρ= a·exp(b·φ) либо φ=(1/b)·ln(r/a), что объясняет название "логарифмическая".  В параметрической форме может быть записана как x(t)=a·exp(bt)cos(t); y(t)=a·exp(bt)sin(t). Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке его на надгробие поместили Архимедову спираль.

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами. Является плоской трансцендентной кривой. Уравнение в декартовых координатах: a·(exp(x/a)+exp(-x/a))/2. Цепь подвесного моста имеет массу намного меньшую, чем пролёт. При таких условиях цепь принимает форму параболы, а не цепной линии. Перевёрнутая цепная линия - идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. В прямоугольных координатах: (x² + y²)² - 2a²(x² - y²) = 0, в полярных координатах:
ρ² = 2a²cos(2φ).  Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Название "лемниската" восходит к античному Риму, где так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. Обобщением является многофокусная лемниската.