Физико-математический пакет "Граф"

Разработанный нами математический пакет "Граф" позволяет чрезвычайно просто проводить вычисления и строить графики без инсталляции и скачивания каких-либо программ. Просто наберите формулу в адресной строке и получите результат в броузере. Формула задаётся в конце адреса cgi-скрипта http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl после вопросительного знака. При этом все дополнительные параметры указываются через ";". Например:

Если набрать эту ссылку в адресной строке (или просто нажать на ссылку выше), то появится окно с графиком функции, который можно сохранить к себе на компьютер как PNG-рисунок. Рисунок имеет прозрачный фон, т.ч. можно накладывать несколько графиков друг на друга.

Если вы хотите вставить этот график на интернет страницу, то это можно сделать, как для обычного рисунка:

Или, предположим, нужно получить значение exp(3)*sin(5)+ln(4). Пишем в адресной строке http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl?exp(3)*sin(5)+ln(4) и получаем ответ в текстовом виде: -17.8742145641675

Если формулы неудобно набирать в адресной строке, то можно написать формулу в окошке ввода текста сообщения форума, выделить формулу курсором и нажимать кнопку F(x) из панели инструментов внизу окна ввода. В результате формула оказывается заключённой в теги gra, которые активируют конвертор.

Также для удобства ввода формул и просмотра результатов можно использовать http://physics.nad.ru/cgi-bin/graph.pl В появившееся окошко формулы вводятся без тегов <gra>. В дальнейшем тексте мы будем их также опускать, хотя для ввода формул через форум они необходимы.

Постоянный адрес обновляемого описания пакета "ГРАФ" здесь: http://physics.nad.ru/graph.html Это описание можно также вызвать из окна ввода текста сообщений командой <gra>help</gra>. Пожалуйста, тестируйте и присылайте свои дополнения к этому пакету в виде подпрограмм, написанных на Perl (или также на C или PHP).  Архив обсуждения на форуме: http://physics.nad.ru/matboard/themes/23481.html

Базовые функции

Дополнительные функции

Работа с комплексными числами

Комплексные числа можно записать в полярных и декартовых координатах. В декартовых координатах это a+b·i, а в полярных - r·exp(it). Соответственно некоторое комплексное число z можно перевести в декартовы координаты оператором z->{d}, а в полярные - оператором z->{p}. Модуль комплексного числа находится как abs(z), а угол в полярных координатах - как arg(z). Re(z), Im(z) - действительная и мнимая часть z. Ввести комплексное число можно или как a+bi, или cplx(a,b), или просто z=(a,b). В полярных координатах число вводится как cplxe(r,t) или просто как z=[r,t]. Результат в полярных координатах отображается как [r,t]. И ещё один ньюанс. Если zⁿ = [r,t], то, находя корень кубический из [r,t] угол может определяться неоднозначно. Например корень кубический из [8,pi] может быть и [2,pi/3], и [2,pi], и [2,5pi/3]. k-ое значение корня n-ой степени находится через функцию (root(z,n))[k]. cbrt(z) находит только одно (первое) решение кубического корня.

Комплексные числа можно складывать, делить, подвергать их действию различных функций:

Пусть z1 = a + bi = r1 * exp(i * t1) и z2 = c + di = r2 * exp(i * t2)
Тогда z1 + z2 = (a + c) + i(b + d)
z1 - z2 = (a - c) + i(b - d)
z1 * z2 = (r1 * r2) * exp(i * (t1 + t2))
z1 / z2 = (r1 / r2) * exp(i * (t1 - t2))
z1 ** z2 = exp(z2 * log z1)
abs(z) = r1 = sqrt(a*a + b*b) sqrt(z) = sqrt(r1) * exp(i * t/2)
exp(z) = exp(a) * exp(i * b)
log(z) = log(r1) + i*t
sin(z) = 1/2i (exp(i * z1) - exp(-i * z))
cos(z) = 1/2 (exp(i * z1) + exp(-i * z))

 Графики функций.

Уравнение функции, константы и вспомогательные функции пишутся на отдельных строчках или разделяются символом точка-запятая ( ; ) Можно вообще написать, например, g(t)=sin(t) и тогда функция будет g, а аргумент - t. Комментарии отделяются символами %%.

Алгоритм таков:
Если в строчке нет знака равенства =, то смотрится есть ли там символ x. Если x есть, то нужно строить график функции, если нет, то вычислить число и показать его. Также смотрятся все остальные строчки, в которых содержится знак равенства. Ecли это например g(t)=.., то g - функция, t - переменная. Если f=.., то в строчке записана функция. Если это например с=5, то с - константа, а 5 - её значение. Также проверяется наличие x во всех остальных строчках. Если есть, то нужно строить график функции. В общем легче смотреть на примерах. В любом случае зарезервированы буквы f под функцию, a x под её аргумент (переменную). Как функция, так и её аргумент могут быть вещественными или комплексными. Если значение функции комплексно, то по вертикальной оси откладывается мнимое значение функции, а по горизонтальной - вещественное. При этом x линейно меняется от xmin до xmax. Как xmin, так и xmax могут тоже быть комплексными. Если строится комплексная функция, то левый нижний угол задаётся как комплексное fmin, а верхний правый угол - комплексное fmax. Если fmin или fmax отсутствует, то они вычисляются автоматически. Также для задания масштаба по вертикали можно использовать ymin и ymax. Есть 2 режима масштабирования комплексной функции ratio=0 или 1. Если ratio=0, то функция растягивается по горизонтали и вертикали до fmin, fmax. Если ratio=1, то масштабы по осям одинаковые и fmin и fmax выбираются автоматически (ввод не действует), чтобы отобразить всю функцию. Если у вас две функции одного переменного (например f и g) и вы хотите нарисовать их в осях XY, то выводите как cplx(f,g), или как f+i*g, или как  (f,g). Название функций и из аргумента могут быть любыми.

Параметры.

Пример 1:

Пример 2:

f=sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(sin(x)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
xmin=0, xmax=6.28; fmin=-0.215, fmax=0.215

Корни: 0; 3.14159265358979; 6.28318530717959

Пример 3:

fbox=0; width=700; points=500; roots=0
sin(6*sin(5*x))

f=sin(6*sin(5*x)); xmin=0, xmax=6.28, fmin=-0.997, fmax=0.9967

Пример 4:
Затухающие гармонические колебания.

xmax=4*pi; ratio=1
exp(-0.5*x)*exp(i*x)

f=exp(-0.5*x)*exp(i*x); xmin=0, xmax=12.566
fmin=(-0.234 + i*-0.207); fmax=(1 + i*0.615)

Функции комплексного переменного.

Можно также строить графики комплексных функций от комплексной переменной. Пусть, например, x меняется от i до 1. Найдём как выглядит функция x^n для нескольких произвольных n. Результат ниже.

f=x; xmin=i, xmax=1 fmin=(-1 + i*-1), fmax=(1 + i*1)	f=x**2; xmin=i, xmax=1 fmin=(-1 + i*-1), fmax=(1 + i*1)	f=x**3; xmin=i, xmax=1 fmin=(-1 + i*-1), fmax=(1 + i*1)	f=x**4; xmin=i, xmax=1 fmin=(-1 + i*-1), fmax=(1 + i*1)
f=x**9; xmin=i, xmax=1 fmin=(-1 + i*-1), fmax=(1 + i*1)	xmin=i; xmax=1; fmin=-1-i; fmax=1+i; roots=0; points=2; width=200 x Проверка для f=x^2: x=t+i*(1-t), где t=0..1 f=x^2=(2t-1)+i*2t(1-t) Re(f)=2t-1; Im(f)=2t(1-t) Нетрудно видеть, что Im(f)=0.5(1-Re(f)^2) Т.е. если построить эту зависимость в координатах XY, то это будет y=0.5(1-x^2), x=-1..1. Построим эту функцию и видим что получили то же самое, что и для комплексного представления		f=0.5*(1-x**2); xmin=1, xmax=-1 fmin=-1, fmax=1

Несколько графиков, отличающихся параметром, на одном поле.

Следующий пример демонстрирует построения графиков, отличающихся параметром n. Задано максимальное количество графиков на одном поле (nmax=5). При этом переменная n меняется от 0 до nmax-1. roots=0; nmax=25 a=(n+1)/nmax xmin=-pi xmax=pi f=a*(sin(2*x))*1/(x)+0.3*(cos(2*x))

f=a*(sin(2*x))*1/(x)+0.3*(cos(2*x)); xmin=-3.14, xmax=3.14, fmin=-0.574, fmax=2.3

Анимация.

Для анимации графиков используется функция animated(time,transparent). Построенное изображение сохраняется в файл изображения формата Animated GIF. Параметр time задаёт задержку между кадрами в миллисекундах. Параметр transparent может принимать два значения - 1 и 0. Если 1, то устанавливается прозрачный фон и видны все построенные графики. Если 0, то фон белый и кадры последовательно заменяют друг друга. Графики на разных кадрах анимации отличаются параметром n, который изменяется от 0 до nmax-1. nmax=20; animated fi=2*pi*n/nmax a1=sin(x) a2=sin(2*x+fi) f=(a1,a2)

XY=cplx(a1,a2); xmin=0, xmax=6.283 fmin=(-1 + i*-1 ), fmax=( 1 + i*1 )

Точки и построенные по ним кривые графики также могут быть преобразованы в GIF анимацию с меняющимся параметром n.

В примере ниже строится наилучшая прямая по точкам, к координатам которых посредством функции rand добавлена случайная величина, имитирующая погрешность измерения. nmax=50; animated(10,0) begin stat points 0 0; 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6; 7 7; 8 8; 9 9 end x=x+rand y=y+rand

xmin=0.018121094411935, xmax=9.96057783549489 fmin=0.00498491452561467, fmax=9.94779613951097

Преобразование 3D координат.

($rho, $theta, $z) = cartesian_to_cylindrical($x, $y, $z);
($rho, $theta, $phi) = cartesian_to_spherical($x, $y, $z);
($x, $y, $z) = cylindrical_to_cartesian($rho, $theta, $z);
($rho_s, $theta, $phi) = cylindrical_to_spherical($rho_c, $theta, $z);
($x, $y, $z) = spherical_to_cartesian($rho, $theta, $phi);
($rho_c, $theta, $z) = spherical_to_cylindrical($rho_s, $theta, $phi);
 

В следующем примере используется функция преобразования сферических координат в декартовы. animated(10,0) roots=0; nmax=10; points=50; width=200 R=1 THETA=pi*n/nmax PHI=x (X,Y,Z)=spherical_to_cartesian(R,THETA,PHI) f=(X,Z)

f=cplx(X,Z); xmin=0, xmax=6.28318530717959 fmin=(-0.998 + i*-1 ), fmax=( 0.998 + i*1 )

Преобразование вращения в декартовых координатах

Несколько разных функций на одном поле.

Основная функция f должна быть без номера. Остальные функции должны начинаться с той же буквы f, а затем идут произвольные числовые номера. Если основная функция переопределена как например g(t)=..., то остальные должны быть g1=.., g2=.., g101=.. и т.д. При этом дополнительные функции тоже будут иметь в качестве аргумента переменную t. Корни вычисляются только у основной функции. Цвет каждой кривой задаётся как color0=.., color1=... Далее значение цвета покомпонентно (RGB) в шестнадцатиричном выражении. color0 задаёт цвет графика основной функции. Если значение цвета не пишется, то по умолчанию выбирается тёмно-синий цвет кривой. points=50; width=200; roots=0 f=exp(i*x); color0=0000FF f1=0.3*exp(i*x); color1=FF0000 f2=sin(2*x)*exp(i*x); color2=00AA00

f=exp(i*x); xmin=0, xmax=6.28318530717959 fmin=(-1 + i*-0.998 ), fmax=( 1 + i*0.998 )

Построение кривых и фигур по точкам

В этом примере строится 3 фигуры: две закрашенные (polygon) и одна незакрашенная (polyline). begin polygon blue 0 23  5 30  12 32  16 31  20 28  22 25  23 20  21 11  16 1  0 -17  -16 1  -21 11  -23 20  -22 25  -20 28  -16 31  -12 32  -5 30  0 23  5 30  end begin polygon red  24 8  29 15  36 17  40 16  44 13  47 5  40 -14  24 -32  8 -14  3 -4  1 5  4 13  8 16  13 17  19 15  24 8  29 15  end begin  -32 -6  -29 -2  -25 0  -19 -3  -17 -8  -19 -14  -22 -20  -32 -32  -43 -20  -46 -14  -47 -8  -45 -3  -40 0  -35 -2  -32 -6  -29 -2  end

xmin=-47, xmax=47, fmin=-32, fmax=32

В данном примере кривая построена по 3-м точкам, но не отрезками прямой, а параболами. Это занимает несколько больше процессорного времени, но делает строку запроса очень компактной и в ряде случаев позволяет хорошо сглаживать кривую при недостаточности точек. begin spline=1 0 5 5 0 0 -5

xmin=0, xmax=5, fmin=-5, fmax=5

Координаты точек могут быть преобразованы по правилу:
x = f(x); y= g(y); z=h(z)
Например: x=x**2; y=log10(y); z=2*z;

Построение прямой y=a+bx методом наименьших квадратов.

Для построения прямой y=a+bx методом наименьших квадратов необходимо ввести свои данные (точки). Для этого можно использовать форму http://physics.nad.ru/stat.html. Данные вводятся в столбик парами x y через пробел между строками "begin stat points" и "end". Параметры width и height определяют размеры окна по горизонтали и вертикали. fbox=0 отключает отображение рамки и сетки графика. В результате работы скрипта отображается прямая y=a+bx, построенная методом наименьших квадратов, а также в текстовом виде значение коэффициентов a и b, а также их среднеквадратичные ошибки (стандартное отклонение)  ±a и ±b. Точки отображаются крестиками (размер крестика не имеет отношения к погрешностям). Красными крестиками отображаются выпадающие точки, для которых отклонение от прямой превышает 3σ. Чтобы задать масштаб по осям нужно написать минимальное и максимальное значение x и y в столбик или через точку с запятой: xmin=...; xmax=...; ymin=...; ymax=...; Если минимальные и максимальные значения x и y не заданы, то они вычисляются автоматически.

Если зависимость между x и y носит нелинейный характер, то это можно её можно "распрямить", используя функции преобразования координат x=f(x)  и y=g(y), которые помещаются внизу окна ввода. Пусть, например, известно, что зависимость между измеренными величинами x и y имеет вид y=kxⁿ (закон Стефана-Больцмана) и требуется найти значение коэффициентов k и n. Прологарифмируем уравнение и получим log10(y)=log10(k)+n*log10(x).  Записываем пары x y в столбик и внизу окна пишем функции преобразования x=log10(x); y=log10(y). В результате на графике получаем прямую с наклоном b=n, которая отсекает на оси y значение коэффициента a=log10(k).

Или другой пример. При небольших напряжениях на p-n переходе его сопротивление R будет постоянным и пропорциональным exp(eV/kT). Пусть измерена зависимость этого сопротивления y=R от температуры x=T и требуется найти высоту потенциального барьера V p-n перехода. Вводим значения сопротивления и температуры в форму и записываем внизу преобразование x=1/x; y=ln(y). По наклону прямой находим V.

Ещё один пример. Количество частиц N прошедших цилиндрический образец длинной l задаётся формулой N=N_oexp(-μl). Заносим в форму данные: зависимость числа регистрируемых частиц (y) от длины образца (x). Записываем преобразование y=ln(y) и по наклону прямой находим коэффициент ослабления μ для данного материала.

begin stat points -9.1 -4.7 -8.5 -3.1 -7.3 -2.1 -6.1 -1.7 -5.9 -0.1 -4.1 0.2 -3.7 1.5 -2.7 2.4 -2.1 4.7 -0.8 4.7 0.4 5.1 1.8 6.4 2.2 7.7 3.7 8.2 4.9 9.6 5.3 10.1 7.0 11.9 7.8 12.3 8.7 13.0 9.9 14.4 end

Построение прямой y = a + bx методом наименьших квадратов xmin=-9.1, xmax=9.9, fmin=-4.7, fmax=14.4 a = 4.96 ± 0.13 b = 0.97 ± 0.02   Dx=<x2>-<x>2; Dy=<y2>-<y>2 b=(<xy>-<x><y>)/Dx; a=<y>-b<x> σb2=(Dy/Dx-b2)/N; σa2= σb2Dx Выпадающие точки (отклонение более 3σ): (-2.1,4.7)

Функции двух переменных

Суть цветовой схемы следующая. Строится график функции двух переменных f(x,y). Красным отмечены области, где f>0, и синим, где f<0. Чем интенсивнее цвет, тем ближе к нулю. Поэтому граница между синим и красным показывает решение уравнения f(x,y)=0. Зелёным заполняются остальные области (можно убрать, положив bitmap=3). Предусмотрены также другие цветовые схемы bitmap=1...9

xmin=-8; xmax=8 ymin=-5; ymax=5 height=200; width=320 a=6; b=8 f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2*(b^2)*(a^2-y^2)-a^4+b^4   Овалы Кассини.

Примеры построения графиков при помощи Граф